Définition d'une suite géométrique

Définition

Une suite $(u_n)$ est dite géométrique lorsqu'il existe un réel $q$ tel que, pour tout entier naturel $n$ :

$$                                                                 $u_{n+1}=q{u}_n$   (1)

• Le réel $q$ est appelé la raison de la suite $(u_n)$ .
  
• L'égalité (1) est appelée relation de récurrence de la suite $(u_n)$ .
  
• Le premier terme $u_0$ et la raison $q$ sont les éléments caractéristiques de la suite.
  

Remarques

1. Une suite est donc géométrique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par un même nombre.

2. La relation de récurrence est une expression reliant deux termes consécutifs de la suite :

• si $n=0$ , on obtient l'égalité $u_1=q{u}_0$  ;
  
• si $n=2023$ , on obtient l'égalité $u_{2024}=q{u}_{2023}$ .
  

3. Si $(u_n)$ ne s'annule pas, alors pour tout $n$ , ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}=q$ .
Cela permet de prouver qu'une suite n'est pas géométrique :

si $u_0=1,u_1=2\text{ et }{u}_2=6,$  alors : ${\displaystyle \frac{u_1}{u_0}}=2\text{ et }{\displaystyle \frac{u_2}{u_1}}=3$ .

Ces deux quotients n'étant pas égaux, la suite ne peut pas être géométrique.

4. Si $q=1$ , alors tous les termes sont égaux à $u_0$ . La suite est constante.

Mais attention ! 

Même si l'égalité ${\displaystyle \frac{u_1}{u_0}}={\displaystyle \frac{u_2}{u_1}}$ est vérifiée, cela ne prouve pas que la suite est géométrique.

En effet, si $u_n=0,5n^2+0,5n+1$ , alors : $u_0=1,u_1=2\text{ et }{u}_2=4$ .

La suite semble donc être géométrique de raison $q=2$ . Mais $u_3=7\ne 2u_2$ .

Cette suite n'est donc pas géométrique.

Exemple

On considère la suite géométrique  $(u_n)$ définie par  $u_0=3$ et de raison $q=2$ .

On a alors :

$u_1=2u_0=2\times 3=6$

$u_2=2u_1=2\times 6=12$

$u_3=2u_2=2\times 12=24$ .

On peut représenter les termes de la suite par le schéma suivant.